KĄCIK NAUKOWY › Kółko matematyczne

Rozeta opisana na wielościanie

Data ostatniej modyfikacji:
2016-03-22
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna
Rysunki dynamiczne 3D utworzono apletem z www.javaview.de/.
Można nimi manipulować, trzymając lewy przycisk myszy.
Jeśli po kilkunastu sekundach rysunki nie wyświetlają się,
kliknij .


 

 
Gdy badaliśmy rozety opisane na wielokątach cyklicznych (tzn. takich, na których można opisać okrąg), okazało się, że ich obwody i pola wyrażają się dość prostymi wzorami (patrz artykuł Rozety: wpisana w wielokąt i opisana na wielokącie). Co więcej, uzasadnienia tych wzorów były łatwe i czysto geometryczne. Tu zbadamy analogiczne rozety dla wielościanów.

 

 

Określenie
Gdy na wielościanie można opisać kulę, to można też opisać na nim rozetę utworzoną w następujący sposób:
    -   wyznaczamy środek O kuli opisanej na wielościanie,
    -   rysujemy promienie tej kuli łączące O z wierzchołkami wielościanu,
    -   tworzymy kule o średnicach będących tymi promieniami,
    -   rozeta opisana na wielościanie jest sumą tak utworzonych kul.

 

 

      Rozeta opisana na sześcianie
 

Wyznaczymy Pr - pole powierzchni rozety opisanej na sześcianie o krawędzi a.

Promień Ro kuli opisanej na sześcianie ma długość taką, jak połowa przekątnej, Ro = /2 a.
Jej środek O jest punktem przecięcia przekątnych sześcianu.
Rozeta opisana na sześcianie składa się z ośmiu kul o promieniach Rr = Ro/2 = /4 a.
Kule te nachodzą na siebie (nie są rozłączne).

     

Na powyższym rysunku słabo widać szczegóły. Niemal cały sześcian schowany jest we wnętrzu rozety. Zatem popatrzmy tylko na jedną z ośmiu kul i to 'obdartą ze skórki'.

     

 

Na powierzchni rozety opisanej na sześcianie:
 
    -   leżą wierzchołki sześcianu, ( ),
 
    -   leżą środki krawędzi sześcianu ( ),
 
    -   leżą środki ścian sześcianu ( ),
 
    -   leży punktów sześcianu.
 

Zatem każda z ośmiu kul tworzących rozetę jest opisana na sześcianie (różowym) o krawędzi a/2.

     
 
Przy czym tylko część ich powierzchni tworzy powierzchnię rozety.
Mianowicie gdy pomyślimy o płaszczyznach ścian tych małych sześcianów (o krawędzi a/2), to podzielą one powierzchnie mniejszych kul na części żółte i zielone.
Cała powierzchnia rozety składa się więc z nienachodzących na siebie nawzajem części:
z żółtych i z części zielonych. Zatem:
Pr   =   24 . Pżół  +  24 . Pziel,
gdzie Pżół oznacza pole części żółtej, a Pziel - pole części zielonej.
 
     
 
Teraz wystarczy już tylko wyznaczyć te wielkości. Pżół, Pziel.
W tym celu zauważmy, że
6 . Pżół  +  12 . Pziel   =   4Rr2 .
     
 
Ponadto część żółta i cztery części zielone tworzą czaszę o wysokości h = Rr - a/4.
     
Już Archimedes znał wzór na pole powierzchni czaszy kulistej.   2Rr . h.
 
Mamy zatem układ równań:
6 . Pżół  +  12 . Pziel   =   4Rr2 ,
1 . Pżół  +  4 . Pziel   =   2Rr . h.
Dzieląc pierwsze równanie przez 3 i odejmując od niego drugie, otrzymujemy:
Pżół   =   4/3 Rr2 - 2Rr . h .
Uwzględniając to w drugim równaniu, mamy:
4 . Pziel   =   2Rr . h - ( 4/3 Rr2 - 2Rr . h )
Stąd
Pziel   =   Rr . h - 1/3 Rr2 .
 
Zatem pole powierzchni rozety jest równe
Pr  =  24 . (Pżół  +  Pziel)  =  24 . ( 4/3 Rr2 - 2Rrh + Rrh - 1/3 Rr2 )  =  24 (Rr2 - Rr h).
 
Uwzględniając, że Rr = /4 a oraz h = Rr - a/4 dostajemy na koniec:
 
Pr  =  24 . (Rr2 - Rr h)  =  24 . ( 3/16 a2 - /4 a (/4 a - a/4 ) )  =  3/2 . a2.
 
Pole powierzchni rozety opisanej na sześcianie o krawędzi a wynosi 3/2 . a2.
 

 

 

Podobnie można wyznaczyć objętość tej rozety. Wszystkie rysunki pozostaną bez zmian. Trzeba jednak znać wzór na objętość odcinka kuli, tzn. bryły ograniczonej czaszą kuli i płaszczyzną odcinającą tę czaszę. Objętość odcinka kuli jest równa   Rr2h - h3/3,   gdzie (jak poprzednio) Rr oznacza promień kuli, a h - wysokość czaszy.
 

Zadanie 1.   
Wyznacz Vr - objętość rozety opisanej na sześcianie o krawędzi a.

 

 

Podobnie można zbadać rozetę opisaną na czworościanie foremnym. (Rysunki trzeba nieco zmodyfikować.)
 

Zadanie 2.   
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety opisanej na czworościanie foremnym o krawędzi a.

     

 

 

Poniższe zadanie jest łatwe jeśli odpowiednio użyjemy poprzedniego.
 

Zadanie 3.   
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety wpisanej w czworościan foremny o krawędzi b.

Wskazówka:
 

 

 

Zadanie 4.   
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety wpisanej w ośmiościan foremny o krawędzi b.

 

 

Powrót na górę strony